基于近端算子PHMC的机载雷达高度表参数估计

郭牧欣，江舸，黄博，经文; GUO Muxin; JIANG Ge; HUANG Bo; JING Wen

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摘要

传统雷达高度表参数估计算法在面对参数的高维特性时会出现过拟合情况，导致参数估计精确度降低。为此，提出一种新颖的基于近端算子修正的哈密顿蒙特卡洛(PHMC)算法，通过统计学的手段估计高程参数。首先假设高程参数具有稀疏特性，并使用拉普拉斯分布对其进行表征，这种稀疏先验可表征高程突变的地形场景。稀疏先验与似然函数之间为非共轭关系，使用分层贝叶斯的方法获得后验分布函数的闭合解，采用哈密顿蒙特卡洛(HMC)方法通过采样的方式解决贝叶斯推论中的参数估计问题，引入近端算子提供次梯度完成参数估计。仿真数据验证了所提PHMC算法优于其他传统算法。

关键词

雷达高度表; 哈密顿蒙特卡洛方法; 分层贝叶斯; 近端算子

雷达高度表作为一种重要的微波遥感仪器，可通过发射脉冲和记录回波测量平台的高度，可搭载于不同运动平台实现不同场景下的测量需求^[

1]。Brown模型^{[参考文献 2

百度学术}2]可提供雷达高度表回波与高程参数的关系，如平台的高度、有效波高度和后向散射系数，高程参数可通过参数估计算法获得。在参数估计算法方面，现有的方法主要分为两类：第一类为传统的参数估计算法，这类算法需要建立一个目标函数并将其负对数作为损失函数并最小化优化。这类方法不考虑信号及参数的特征进行参数估计，如最大似然估计(Maximum Likehood Estimation，MLE)^{[参考文献 3

百度学术}3]，加权^{[参考文献 4

百度学术}4]或非加权最小二乘法(Least Squares，LS)^{[参考文献 5

百度学术}5]，Levenberg-Marquardt(LM)^{[参考文献 6

百度学术}6]以及Nelder-Mead法^{[参考文献 7

百度学术}7]等。文献[8]提出使用LM算法进行高度表高程参数估计，该参数可控制算法收敛速度，缺点是计算量大。文献[9]针对LM算法计算量大的问题，提出NR(Newton-Raphson)算法，解决了重追踪计算量大的问题。然而，传统迭代类参数估计算法受步长因素等限制，存在步长过大，会导致收敛精确度低；步长过小，可能会导致计算量过大且陷入局部最优问题。随着数据量及数据维度的增加，传统的参数算法在参数估计中可能会出现过拟合问题，导致估计精确度下降。传统参数估计为点估计算法，如最大似然、最大后验概率等，其获得的估计值为静态的，没有一个解析的参考误差区间。文献[7]通过考虑回波信号中参数变化的平滑特性提出一种“平滑先验”，并提出“三步”算法。该算法首先估计出参数，然后用高斯滤波器处理参数，最后，根据滤波结果重新估计参数。文献[10]提出连续回波之间的相关性，证明了在考虑了有效的先验信息后参数估计的准确性可以得到提高。文献[11]考虑了连续测高回波之间的相关性，在贝叶斯模型中使用平滑性的先验。这两种方法着重于参数平滑变化的特性。稀疏先验广泛用于合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar，SAR)成像^{[参考文献 12-13}12-13]。然而，通过描述稀疏性来估计雷达测高参数的工作还很少。为此本文采用了统计学方法：通过考虑有益先验，使信号的特征更加完整。

本文针对机载雷达测高回波提出一种基于近端算子的哈密顿蒙特卡洛算法。使用拉普拉斯分布对高程参数的稀疏性进行表征，在这种情况下，难以得到后验分布函数的闭式解。其原因是稀疏先验与似然函数之间为非共轭关系，采用分层贝叶斯方法，通过贝叶斯公式获得了后验分布函数的闭合解。由于观测函数的先验函数中含有多重积分，传统估计算法难以从条件后验分布中计算出高程参数。本文采用HMC通过采样的方式解决贝叶斯推论中的参数估计问题。由于通过后验分布获得的能量函数不满足HMC算法中可微的要求，因此引入近端算子通过提供次梯度从而完成参数估计。使用仿真机载雷达测高回波对所提出的PHMC算法进行评估，仿真数据验证了所提PHMC算法优于传统算法。

1 雷达高度表信号模型

1.1 雷达高度表信号模型

雷达测高信号可线性表示为：

Y_{i} = X (θ_{i}) + N

(1)

式中： $Y_{i} \in C^{T} (T = 128)$ 为雷达高度表观测回波； $X$ 为雷达高度表回波信号； $θ$ 为雷达观测区域内高程参数； $i$ 为时间序列； $N$ 为加性高斯白噪声， $N ~ 𝒩 (0, σ^{2})$ ， $σ$ 为雷达回波信号中的噪声方差。

1.2 雷达高度表参数模型

为提升参数估计的精确度，本文采用延迟/多普勒高度表(Delay/Doppler Altimeter，DDA)作为雷达回波参数模型。DDA在传统高度表基础上，通过在顺轨向上引入合成孔径技术，提升了顺轨向上的分辨力、测量精确度^[

14]。其平均功率表达式

P (t, f)

由3项卷积组成：平坦表面脉冲响应(Flat Surface Impulse Response，FSIR)、概率密度函数(Probability Density Function，PDF)以及雷达点目标响应(Point Target Response，PTR)：

P (t, f) = F S I R (t, f) * P D F * P T R (t, f)

(2)

式中 $t, f$ 分别表示双程测距时间和多普勒频率。由文献[

3]可知，延迟/多普勒高度表信号可表示为：

x (t) = \sum_{a = 1}^{A} P (t - δ_{t a}, f_{a})

(3)

式中： $δ t_{a}$ 为以秒表示的延迟补偿； $a$ 为多普勒波束个数； $A = 64$ 。独立的测高回波可用矢量表示为 $x = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{J}]^{T}$ ， $J = 1,2, \dots, 128$ ，其中 $x_{i} = x (j T)$ ， $T$ 为雷达发射信号周期。

2 基于统计贝叶斯的参数分布推论

提出一种基于统计贝叶斯的方法：引入可表征目标特性的先验分布并对噪声进行建模。使用贝叶斯公式将似然函数与参数的先验函数联系在一起，获得目标参数的后验概率密度函数：

f (X | Y) = \frac{f (X) f (Y | X)}{f (Y)}

(4)

式中： $f (X | Y)$ 表示联合后验分布函数； $f (X)$ 为参数的先验函数； $f (Y | X)$ 为似然函数，表示各项参数与观测信号的统计学关系； $f (Y)$ 为观测信号的先验分布函数。本文中所有未知参数都认为是随机量并赋予概率分布。引入特定的先验分布函数 $f (θ | ω)$ 表征待估计参数的特定特性。观测信号 $Y_{i}$ 可表示成与似然函数 $f (Y | θ, σ^{2})$ 相关的随机过程。在贝叶斯模型下，每个变量之间的关系可通过有向无环图(Directed Acyclic Graph，DAG)表示，如图1所示。观测信号 $Y$ 假设为显性变量，参数 $X (θ)$ 、噪声 $N$ 、噪声方差 $σ$ 为隐性变量， $a 、 b$ 为超参数 $ε$ 的尺度及形状因子。

图1 高程回波信号各参数关系有向无环图

Fig.1 DAG of the relationship among the altimetry parameters

2.1 先验假设

稀疏先验广泛用于SAR成像中，假设雷达高度表回波信号中的高程参数具有稀疏特性并对此特性进行建模。 $𝓁_{0}$ 范数是表征稀疏最有效的方式，该范数可通过记录向量中零元素的个数从而表征稀疏，但 $𝓁_{0}$ 范数的正则化本身是NP-hard问题，难求其解。本文采用范数正则化表征稀疏，而 $𝓁_{1}$ 范数正则化可等同于拉普拉斯分布(Laplace distribution)，故可通过使用拉普拉斯分布来表征参数的稀疏特性^[

15]：

f (θ | λ) = \frac{λ}{2} e x p (- \frac{λ}{2} {‖θ‖}_{1})

(5)

式中 $λ$ 为拉普拉斯分布的尺度因子。

对噪声模型进行建模，假设雷达高度表回波信号受加性高斯白噪声影响，为增强对噪声方差表征的完备性，对噪声方差 $σ^{2}$ 使用无信息先验进行建模。更准确地说，假设噪声的方差服从杰里夫斯(Jeffreys)分布：

f (σ^{2}) = \prod_{j = 1}^{J} \frac{1}{σ_{j}^{2}} Ⅱ_{R^{+}} (σ_{j}^{2})

(6)

式中 $Ⅱ_{R^{+}} (\cdot)$ 为指示函数。

2.2 似然函数

在雷达高度表回波信号受加性高斯白噪声影响的假设下，观测信号 $Y$ 的似然函数可表示为：

f (Y_{i} | θ, σ^{2}) \propto {(\prod_{j = 1}^{J} σ_{j}^{2})}^{- \frac{1}{2}} e x p (- \frac{{‖(k_{i})‖}_{2}^{2}}{2 σ_{j}^{2}})

(7)

式中 $k_{i} = Y_{i} - X_{i}$ 。

2.3 分层贝叶斯

分层贝叶斯模型可构建似然函数各项参数先验分布之间的联系，可用于估计后验分布的结构化分层模型。本文拟使用拉普拉斯分布对参数稀疏特性进行建模，由于先验分布函数(5)与似然函数(7)为非共轭，故无法获得具体联合后验分布函数的形式，分层贝叶斯可解决这一问题。文献[

14]中，拉普拉斯分布被分为高斯分布与伽马分布：

f (θ | ω) = C N (θ | 0, ω)

(8)

式中 $ω$ 为关于参数 $θ$ 的超参数，其分布服从伽马分布：

f (ω | ε^{2}) \propto Γ (ω | η, ε^{2})

(9)

式中： $ε^{2}$ 为伽马分布的尺度因子； $η$ 为形状因子。当 $η = 1.5$ 时， $f (θ | ε^{2}) = \int f (θ | ω) f (ω | ε^{2}) d ω$ 为Laplace分布^[

15]。

2.4 后验分布函数

联合后验分布可通过先验分布与似然函数进行推导：

f (θ, σ^{2}, ε^{2} | y) \propto f (y | θ, σ^{2}, ε^{2}) f (θ, σ^{2}, ε^{2})

(10)

本节将详细推导基于分层贝叶斯模型下的参数后验分布。根据贝叶斯模型，关于参数 ${θ, ε^{2}, σ^{2}}$ 的联合后验分布可通过式(5)~式(10)得到：

f (θ, σ^{2}, ε^{2} | y) \propto f (y | θ, σ^{2}, ε^{2}) f (θ, σ^{2}, ε^{2}) \propto {(\prod_{j = 1}^{J} σ_{j}^{2})}^{- \frac{1}{2}} e x p (- \frac{{‖(k_{i})‖}_{2}^{2}}{2 σ_{j}^{2}}) * C N (θ | 0, ω) * Γ (ω | η, ε^{2}) * Γ (ε^{2} | b, c) * \prod_{j = 1}^{J} \frac{1}{σ_{j}^{2}} Ⅱ_{R^{+}} (σ_{j}^{2})

(11)

其中，关于高程参数条件后验分布函数可通过式(7)~式(8)获得：

f (θ | Y, σ^{2}, ε^{2}) \propto f (Y | θ, σ^{2}) f (θ | ε^{2}) \propto e x p (- \frac{{‖k_{i}‖}_{2}^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{{‖θ‖}_{2}^{2}}{2 ε^{2}})

(12)

假设噪声的方差分布为Jeffreys分布，根据Jeffreys先验知识，可以很容易地得到噪声方差的条件后验分布：

f (σ^{2} | Y, θ, ε^{2}) \propto f (Y | θ, σ^{2}) f (σ^{2}) \propto I g (\frac{1}{2}, \frac{{‖k_{i}‖}_{2}^{2}}{2})

(13)

式中 $I g (.)$ 为逆伽马分布。通过式(7)、式(9)可获得超参数的后验分布函数：

f (ε^{2} | Y, θ, σ^{2}) \propto I g (\frac{1}{2}, \frac{{‖θ‖}_{2}^{2}}{2})

(14)

通过贝叶斯模型获得后验分布函数的闭合解，但传统方法不能很好地解决贝叶斯公式中关于观测信号 $Y$ 的似然函数为多重积分问题。为此，本文采用HMC算法通过采样方法解决该问题，并对参数进行优化。

3 PHMC算法

传统方法难从目标后验分布中获得目标参数的解析解，而统计采样方法可为此问题提供解决思路。目前统计采样方法有马尔科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)采样、MH(Metropolis-Hastings)采样、Gibbs采样等。MCMC采样由于随机游走中接受率较低，采样效率低于Gibbs采样而未被广泛使用；Gibbs采样适用于常规分布的采样。近年流行的HMC算法^[

16-17]基于Gibbs采样，引入哈密顿动力学策略，并结合MH高接受率实现了更为稳健的采样。该采样方法基于势能与动能之间的能量转换完成优化过程。

X \in C^{N}

定义为待估计参数，

f (X)

表示该参数服从的分布。该算法估计过程如下：首先对后验分布函数取负对数，获得势能函数

U (x)

：

U (x) \propto - l o g (f (X))

，其中

x

表示系统中位置矢量；接着通过位置矢量

x

以及速度

q

分别求解势能以及动能；最后，哈密顿动量

H

可由势能

U (x)

以及动能

K (q)

组成：

H (x, q) = U (x) + K (q)

(15)

式中：动能 $K (q)$ 可简单表示为： $K (q) = q^{T} q$ 。而在哈密顿动态过程中，系统能量变化服从能量转移定理：

\{\begin{array}{l} \frac{d q}{d t} = \frac{\partial H}{\partial x} \\ \frac{d x}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial q} \end{array}

(16)

式(16)表示哈密顿动态中第 $i$ 次能量转换过程。在第 $i$ 次迭代中，上一次迭代结果 $x (i - 1)$ 以及从高斯分布中采样得到速度 $q$ 可作为本次迭代的初始参数。哈密顿过程主要包含两个步骤：第一步是从高斯分布 $N (0,1)$ 中采集出一个随机值作为初始速度 $q$ 并计算出其动能 $K (q)$ ；第二步则是通过跳蛙法逐步更新位置矢量 $x$ 以及速度 $q$ 。在整个迭代过程中，最终的位置矢量 $x^{'}$ 以及速度 $q^{'}$ 可由离散化哈密顿过程得到，而该离散化过程主要由跳蛙法实现。具体描述为：跳蛙法通过半步长迭代增加位置矢量以及速度的迭代次数，如：跳蛙次数为 $L_{f}$ ，步长为 $ξ$ 的第 $s$ 次迭代过程可表示为：

\{\begin{array}{l} q [s, (λ + \frac{1}{2}) ξ] = q (s, λ ξ) - \frac{ξ}{2} \times \frac{\partial E}{\partial x} [x (s, λ ξ)] \\ p [s, (λ + 1) ξ] = x (s, λ ξ) + ξ q [s, (λ + \frac{1}{2}) ξ] \\ q [s, (λ + 1) ξ] = q (s, λ ξ) - \frac{ξ}{2} \times \frac{\partial E}{\partial x} [x (s, (λ + 1) ξ)] \end{array}

(17)

式中 $\partial$ 为偏导数。在通过 $L_{f}$ 次跳蛙后，通过MH判别可获得最终的位置矢量以及速度：

m i n \{1, [x + q - (x' + q')]\}

(18)

对于平滑函数，可通过梯度下降算法直接求解其极值，而函数为非平滑时，梯度下降不再适用。对于次梯度，并未对函数平滑性提出要求。HMC系统中的势能函数含有不可微的部分，通过直接求解梯度的方式不可行，本文引入近端算子^[

18]获得导数的近似值求解不可微函数。假设

u (x)

为非平滑的势能函数，其近端算子可表示为：

p r o x_{λ u} (x) = \underset{v}{a r g m i n} (u (x) + \frac{1}{2 μ} {‖v - x‖}_{2}^{2})

(19)

式中： $μ$ 为近端算子的尺度因子； $v$ 表示参数 $x$ 的代替值。

势能函数可重新表示为：

U (x) = G (x) + u (x)

(20)

式中： $G (x) = \frac{{‖y - s (x)‖}_{2}^{2}}{2 σ^{2}}$ 为平滑可微函数； $u (x) = \frac{{‖x‖}_{1}^{2}}{2 ε^{2}}$ 为不可微函数，需求解 $u (x)$ 的近端算子：

p r o x_{μ u} (v) = \underset{v}{a r g m i n} (\frac{{‖x‖}_{1}^{2}}{2 ε^{2}} + \frac{1}{2 μ} {‖v - x‖}_{2}^{2})

(21)

$p r o x_{μ u} (v)$ 为 $x$ 的软阈值近端算子^[

19]，此时第

r

次迭代过程为：

\{\begin{array}{l} q [r, (k + \frac{1}{2}) ξ] = q (r, k ξ) - \frac{ξ}{2} \times \{x (r, k ξ) - [p r o x (x) + \frac{\partial G (x)}{\partial x}]\} \\ x [r, (k + 1) ξ)] = x (r, k ξ) + ξ q [r, (k + \frac{1}{2}) ξ] \\ q [r, (k + 1) ξ] = q (r, k ξ) - \frac{ξ}{2} \times \{x [r, (k + 1) ξ] - [p r o x (x) + \frac{\partial G (x)}{\partial x}]\} \end{array}

(22)

最后，PHMC仍使用MH规则对优化参数进行判别。该算法可以表示如下：

Algorithm 1:proximal operator using in Hamiltonian dynamics for Posterior distributions

1. initialize with p(0);

2. set the iteration number K_Lf, $ξ$ , s=0

3. for s=1,2,…,S do

4. sample q(s,0)~N(0,I_N)

5. compute q(s, $\frac{1}{2} ξ$ )=q(s,0)- $\frac{1}{2} ξ$ [p(s,0)-(prox(x)+ $\frac{\partial G (x)}{\partial x}$ )]

6. compute p(s, $ξ$ )=p(s,0)+ $ξ$ q(s, $\frac{1}{2} ξ$ )

7. compute q(s, $ξ$ )=q(s, $\frac{1}{2} ξ$ )- $\frac{1}{2} ζ$ (p(s, $ξ$ )-(prox(x)+ $\frac{\partial G (x)}{\partial x}$ ))

8. for K_lf=1 to K_Lf-1

do:

9. compute q(s,(K_lf+ $\frac{1}{2}$ ) $ξ$ $) =$ q(s, $K_{l f} ξ$ )- $\frac{ξ}{2}$ p(s,λ $ξ$ )-(prox(x)+ $\frac{\partial G (x)}{\partial x}$ )

10. compute p(s,( $K_{l f} + 1)$ $ξ$ )=p(s,( $K_{l f}$ $ξ$ )+ $ξ$ q(s,(K_lf+ $\frac{1}{2}$ ) $ξ)$

11. end

12. compute q(s,(K_Lf+ $\frac{1}{2}$ ) $ξ)$ =q(s,(K_lf) $ξ)$ - $\frac{ξ}{2}$ p(s,λ $ξ$ )-(prox(x)+ $\frac{\partial G (x)}{\partial x}$ )

13. use MH acceptation:

min{1,exp(H(p(s, $K_{L f}$ $ξ$ ), q(s,(K_Lf) $ξ)$ -H(p(s, $ξ$ ), q(s, $ξ)$ ))}

14. p*=p(s, $K_{L f}$ $ξ$ ) and q*=q(s, $K_{L f}$ $ξ$ )

15. end

4 实验验证

本次实验使用估计偏差(Bias)比较估计参数和真实参数的差异，从而评估估计结果的质量。Bias可表示为：

B i a s (θ_{e s t i}) = ‖θ - θ_{e s t i}‖

(23)

式中： $θ$ 为真值参数； $θ_{e s t i}$ 为估计参数。后续可通过以上判决标准对算法的估计结果进行比较。

本文使用仿真数据与实测数据对算法的有效性进行验证，首先使用仿真数据验证所提算法的有效性。在确定了地面场景后设置雷达模拟参数，通过一系列仿真过程可以得到模拟回波。然后，通过遍历匹配将布朗模型产生的波形和合成回波进行优化匹配。最后，检索Brown模型和回波的均方根误差(Root-Mean-Square Error，RMSE)，当其达到最小时，认为此时的参数值为真值。图2(a)为达到最佳匹配时，Brown模型和合成回声的相似度(只考虑前缘的拟合)。这2个波形在前沿之前拟合不是很好，这是由于布朗模型不能很好地描述不平整的表面。本文所估计参数位于回波前沿，可忽略前沿之前不匹配的情况。根据图2(a)，此时得到的参数可被认为是测量数据的真值，它为后续估计提供了一个标准值。

图2 (a) 仿真数据与模型匹配；(b) 100 dB下3种参数估计算法结果；(c) -10 dB下3种参数估计算法结果

Fig.2 (a) match between the simulation and the model；(b) results of parameter estimation under 100 dB；

为证明所提PHMC算法的有效性，与传统的估计算法LS和MAP(Maximum A Posteriori)进行比较。3种算法用来估计不同信噪比下的参数(设定信噪比为100 dB、10 dB、0 dB以及-10 dB，其中100 dB为无噪声信号)。图2(b)~(c)显示了LS、MAP和PHMC算法在不同信噪比下的结果。

表1为不同信噪比下使用不同算法的估计参数的偏差。从表1中不难看出，在多种信噪比下，PHMC算法相较于传统参数估计算法的估计结果更加精确。分析表1中数据可知：仿真回波信噪比从高信噪比下降到低信噪比时，MAP与PHMC算法估计结果相较于LS算法更为稳定。当信噪比降低时，仿真波形发生较大变化，传统参数估计算法估计精确度降低。表2为PHMC和MAP相对LS在不同信噪比下的定量计算，可以看出，与LS相比，PHMC的计算精确度在无噪声条件下提高了65.63%，在-10 dB条件下提高了77.06%。在-10 dB时，受噪声影响，可观察到回波发生较大变化。进一步分析可计算出PHMC以及MAP算法相较于LS算法估计精确度提升百分比，如表2所示。

表1 不同信噪比下参数估计偏差结果

Table1 Bias of parameter estimation under different SNRs

method	bias under different SNRs
method	100 dB	10 dB	0 dB	-10 dB
LS	0.96	0.96	1.11	2.18
MAP	0.55	0.56	0.60	0.60
PHMC	0.33	0.36	0.36	0.50

表2 不同信噪比下参数估计定量分析

Table2 Quantitative analysis of parameter estimation under different SNRs

method	accuracy improvement under different SNRs
method	100 dB	10 dB	0 dB	-10 dB
MAP	47.71%	49.55%	37.5%	72.48%
PHMC	65.63%	67.57%	70.83%	77.06%

本次实验使用传统LS方法与MAP估计方法以及贝叶斯理论下的PHMC算法分别进行了回波参数估计。基于仿真结果的定性以及定量分析，验证了该方法在估计性能以及估计精确度上相对传统LS方法，有大幅度提升。

使用机载雷达高度表实测数据进行验证。该机载雷达高度表实测数据由40 000个回波组成，使用前5 000个脉冲(这段数据所对应地面探测区域为农田)回波验证提出算法的有效性。为减小相干斑噪声的影响，本文将100个脉冲作为一组进行非相参叠加。表3为机载雷达高度表飞行平台的参数。

表3 机载飞行平台参数

Table1 Parameters of airborne radar altimetry

parameter	value
altitude/m	3 000
band width/M	100
pulse width/μs	5
velocity/(m·s^-1)	65
antenna beam width/(°)	60
PRF/Hz	2 000

对于实测数据，估计偏差(Bias)不能为其提供准确的定量分析标准值。本文拟采用一种改进的评价标准“STD at 20 Hz”^[

20]用于估计值与地面实况的偏差。该标准可将连续20个回波的估计平均值作为高程参数真实数据的参考标准，定义如下：

S T D = \sqrt[]{\frac{1}{i} \sum_{i = 1}^{R} {[θ_{a v e r a g e} (i) - θ_{e s t i} (i)]}^{2}}

(24)

式中 $θ_{a v e r a g e}$ 为20个连续回波估计的平均值。

图3为3种不同算法对实测数据验证的效果， $τ$ 为距离门，与高度参数相关。从图中可看出，PHMC算法相较于其他算法，估计效果以及估计精确度更稳定。

图3 PHMC、MH、LS三种算法估计结果

Fig.3 Estimation of PHMC, MH and LS with the practical airborne altimetry echoes

其中“STD at 20 Hz”估计的平均值为64.68。表4为不同算法在机载实测数据的估计结果，从表4可见，PHMC以及MH的均值均比LS的估计结果更接近真实值。而PHMC算法的标准差为3种算法中最低，即PHMC算法有更稳定的估计结果。综合仿真数据以及实测数据分析可知，PHMC算法相较于LS算法，性能更良好，可为HMC系统中能量函数不可微的情况提供更优的解决办法。

表4 不同算法在机载实测数据上的估计结果

Table4 Performance on practical airborne echo with different algorithms

method	means	STD
LS	64.76	1.34
MH	64.70	0.36
PHMC	64.67	0.34

5 结论

本文提出了一种具有稀疏先验的机载雷达测高回波的估计算法。提出的PHMC算法可以很好地解决非光滑的能量函数：使用拉普拉斯分布描述雷达测高参数的稀疏性，使用分层贝叶斯解决似然函数与先验函数非共轭的问题，获得后验分布函数的闭合解；然后使用基于近端算子修正的HMC算法估计来自条件后验分布中的参数。采用机载雷达高度表仿真与实测数据对提出的PHMC算法进行验证，实验结果表明，考虑稀疏先验后的PHMC算法在不同信噪比下比其他算法效果更优。

参考文献

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基于近端算子PHMC的机载雷达高度表参数估计 PDF

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关键词